Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，且交⊙O于点D，过点D作DE∥BC，交AB的延长线于点E，连接BD、CD．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB＝8，AC＝6，求BE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OD，根据圆周角定理求得∠COD＝2∠DAC＝90°，∠BOD＝2∠BAD＝90°，再根据平行线的性质可求OD⊥ED，即可证得DE是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理求得BC的长，从而求得OB的长，然后求得BD、CD的长，再根据边形ABCD是⊙O的内接四边形，求得∠ACD＝∠DBE，再证得△EBD∽△DCA，得到，由此求得BE的长．

（1）证明：连接OD．

∵∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝45°．

∴∠COD＝2∠DAC＝90°．

∠BOD＝2∠BAD＝90°．

∵DE∥BC，∴∠COD＝∠EDO＝90°．

∵∠EDO＝90°，∴OD⊥ED．

∵OD为半径，OD⊥ED，垂足为点D，∴DE是⊙O的切线．

（2）【解析】
∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径．

在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，BC＝ ＝10 ，∴OB＝OC＝OD＝5．

∵OB＝OD＝5，∴∠OBD＝∠ODB＝（180°－∠BOD）＝45°．

∴∠BDE＝∠EDO－∠ODB＝45°．

在Rt△BOD中，∠BOD＝90°，BD＝ ．

在Rt△DOC中，∠COD＝90°，CD＝．

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ACD＋∠ABD＝180°．

又∵∠EBD＋∠ABD＝180°，∴∠ACD＝∠DBE．

∵∠ACD＝∠EBD，∠BDE＝∠DAC＝45°，∴△EBD∽△DCA．

∴．

∴．

∴EB＝．

答：BE的长为．