下列方程中,是一元二次方程的是( )
A. (x﹣3)x=x2+2 B. ax2+bx+c=0 C. x2﹣+1=0 D. 2x2=1
(数学概念)
若等边三角形的三个顶点D、E、F分别在△ABC的三条边上,我们称等边三角形DEF是△ABC的内接正三角形.
(概念辨析)
(1)下列图中△DEF均为等边三角形,则满足△DEF是△ABC的内接正三角形的是 .
A. B.
C.
(操作验证)
(2)如图①.在△ABC中,∠B=60°,D为边AB上一定点(BC>BD),DE=DB,EM平分∠DEC,交边AC于点M,△DME的外接圆与边BC的另一个交点为N.
求证:△DMN是△ABC的内接正三角形.
(知识应用)
(3)如图②.在△ABC中,∠B=60°,∠A=45°,BC=2,D是边AB上的动点,若边BC上存在一点E,使得以DE为边的等边三角形DEF是△ABC的内接正三角形.设△DEF的外接圆⊙O与边BC的另一个交点为K,则DK的最大值为 ,最小值为 .
如图①,有两个△ABC和△A′B′C′,其中∠C+∠C′=180°,且两个三角形不相似.能否分别用一条直线分割这两个三角形,使△ABC所分割成的两个三角形与△A′B′C′所分割成的两个三角形分别相似?如果能,画出分割线,并标明相等的角;如果不能,请说明理由.
小明经过思考后,尝试从特殊情况入手,画出了当∠C=∠C′=90°时的分割线:
(1)小明在完成画图后给出了如下证明思路,请补全他的证明思路.
由画图可得△BCD∽△ .
由∠A+∠B=90°,∠A′C′D′+∠B′C′D′=90°,∠A′C′D′=∠B,得 .
同理可得:∠B′=∠ACD.
由此得:△ACD∽△ .
(2)当∠C>∠C′时,请在图①的两个三角形中分别画出满足题意的分割线,并标明相等的角.(不写画法)
如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠BAC=90°,AD平分∠BAC,且交⊙O于点D,过点D作DE∥BC,交AB的延长线于点E,连接BD、CD.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AB=8,AC=6,求BE的长.
某网店销售一种手帕,每条进价为30元,经市场调研,售价为50元时,每月可销售200条;售价每降低1元,销售量将增加10条.
(1)每条售价为40元时,每月可获得利润 元;
(2)如果规定月销售量不低于250条,且售价不低于进价,当售价为多少元时,每月获得利润最大?最大利润为多少元?
已知二次函数y=-x2+(m+1)x-m(m为常数).
(1)求证:不论m为何值,该二次函数的图像与x轴总有公共点;
(2)若该二次函数的图像与x轴交于不同的两点A、B,与y轴交于点C,且AB2=2OC2(O为坐标原点),求m的值.