Question

数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC>AB>AC，在BC边上取一点P，使∠APC=2∠ABC．

小路的作法如下：

① 作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；

② 连结AP．

请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：

∵ PQ是AB的垂直平分线

∴ AP=          ，  （依据：                                              ）；

∴ ∠ABC=       ， （依据：                                              ）．

∴ ∠APC=2∠ABC．

Answer

尺规作图见解析；BP，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；∠BAP，等边对等角.

【解析】

按照线段垂直平分线的作图方法作出AB的垂直平分线，然后按照线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质求解即可.

如图，

∵ PQ是AB的垂直平分线

∴ AP=BP，（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；

∴ ∠ABC=∠BAP，（依据：等边对等角）．

∴ ∠APC=2∠ABC．