Question

已知平面内一点P，若点P到两条相交直线l₁和l₂的距离都相等，且距离均为h（h>0），则称点P叫做直线l₁和l₂的“h距离点”. 例如图1所示，直线l₁和l₂互相垂直，交于O点，平面内一点P到两直线的距离都是2，则称点P叫做直线l₁和l₂的“2距离点”.

（1）若直线l₁和l₂互相垂直，且交于O点，平面内一点P是直线l₁和l₂的“7距离点”，直接写出OP的长度为     ；

（2）如图2所示，直线l₁和l₂相交于点O，夹角为60°，已知平面内一点P是直线l₁和l₂的“3距离点”，求出OP的长度；

（3）已知三条直线两两相交后形成一个等边三角形，如图3所示，在等边△ABC中，点P是三角形内部一点，且点P分别是等边△ABC三边所在直线的“距离点”，请你直接写出△ABC的面积是          .

Answer

（1） （2）6或 （3）

【解析】

（1）根据勾股定理求解即可；

（2）分点P在锐角内部和P在钝角内部两种情况求解即可；

（3）由题意知，点P是三个角平分线的交点，根据等边三角形的性质和勾股定理求出三角形的边长，即可求出三角形的面积.

(1) ；

（2）当点P在锐角内部时，

，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

；

当点P在钝角内部时.

，

∴，

∴，

∴，

∴，

，

，

∴

（负值舍去）

∴

综上所述，OP的长为6或

（3）