Question

已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝40°．

（1）如图1，若D为弧AB的中点，求∠ABC和∠ABD的度数；

（2）如图2，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的度数．

Answer

（1）45°；（2）26°．

【解析】

（1）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得∠ABC和∠ABD的大小；

（2）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得∠OCD的大小．

（1）∵AB是⊙O的直径，∠BAC=38°， ∴∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠ACB﹣∠BAC=90°﹣38°=52°，

∵D为弧AB的中点，∠AOB=180°，∴∠AOD=90°，

∴∠ABD=45°；

（2）连接OD，

∵DP切⊙O于点D，∴OD⊥DP，即∠ODP=90°，

∵DP∥AC，∠BAC=38°，∴∠P=∠BAC=38°，

∵∠AOD是△ODP的一个外角，

∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°，∴∠ACD=64°，

∵OC=OA，∠BAC=38°，∴∠OCA=∠BAC=38°，

∴∠OCD=∠ACD﹣∠OCA=64°﹣38°=26°．