Question

如图1，抛物线C₁：y＝ax²+bx+1的顶点坐标为D（1，0）且经过点（0，1），将抛物线C₁向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线C₂，直线y＝x+c，经过点D交y轴于点A，交抛物线C₂于点B，抛物线C₂的顶点为P．

(1)求抛物线C₁的解析式；

(2)如图2，连结AP，过点B作BC⊥AP交AP的延长线于C，设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结BQ并延长交AC于点F，

①当点Q运动到什么位置时，S_△PBD×S_△BCF＝8？

②连接PQ并延长交BC于点E，试证明：FC（AC+EC）为定值．

Answer

(1)y＝x2﹣2x+1；(2)点Q运动到x轴时，S△PBD×S△BCF＝8；②证明见解析.

【解析】

（1）已知顶点D的坐标，设抛物线的顶点式为：y=a（x-1）2，将点（0，1）代入即可；

（2）根据平移规律求出平移后抛物线的顶点坐标，即P（2，-1），根据顶点式，得平移后抛物线解析式y=（x-2）2-1，由解析式，得A（0，-1），B（4，3），可求△DBP的面积；

（3）由QM∥CE，得△PQM∽△PEC，利用相似比求EC，由QN∥FC，得△BQN∽△BFC，利用相似比求FC，已知AC=4，再计算FC（AC+EC）为定值．

(1)把顶点坐标为D（1，0）和点（0，1）坐标代入y＝ax2+bx+1，

解得：抛物线的方程为：y＝x2﹣2x+1；

(2)抛物线C1向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物抛物线C1向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线C2，

则抛物线C2的方程为：y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，

此时顶点P坐标为（2，﹣1），A（0，﹣1）、B（4，3），

①则：S△PBD＝3，S△BCF＝，

设点Q（m，m2﹣4m+3），把Q、B点坐标代入一次函数表达式，

解得：BQ所在的直线方程为：y＝mx+（3﹣4m），

则：F（，﹣1），S△BCF＝FC•（yB﹣yC）＝＝，

则m＝3，点Q坐标为：（3，0），即：点Q运动到x轴时，S△PBD×S△BCF＝8；

②如下图所示，过Q点分别作AC、BC的垂线QM、QN，

设：Q（t，t2﹣4t+3），则QM＝CN＝（t﹣2）2，MC＝QN＝4﹣t，

∵QM∥CE，∴＝，则：＝，解得：EC＝2t﹣4，

∵QN∥FC，，则：FC＝，而AC＝4，

∴FC（AC+EC）＝（4+2t﹣4）＝8，为定值．