Question

如图，在中，已知，，，点是边上的任意一动点，点与点关于直线对称，直线与直线相交于点．

（1）求边上的高；

（2）当为何值时，△与△重叠部分的面积最大，并求出最大值；

（3）连接，当为直角三角形时，求的度数．

Answer

（1）3（2）（3）或

【解析】

（1）过点A做APBC垂足为P,根据题意推出B=C=30,再求出AP的值即为BC边上的高；

（2）由对称及AD与DC至少有一段不会超过BC的一半，得出当△ADB与△ADC完全重合时，即当BD=3时△ADB与△ADC重叠部分的面积最大；

（3）先判断只有BDB=90才符合题意，再分别讨论当点在点右侧时或右侧时即可.

（1）过点做垂足为

∵且

∴

在中，

∴

∴底边上的高.

（2）当时，△与△重叠部分的面积最大.

此时、、三点重合，重叠部分为△，其面积为：

（理由如下：∵点与点关于直线对称，∴△与△关于直线对称，∴△≌△，∴，∵与至少有一段不会超过的一半，∴与至少有一个不会超过的一半，∴与至少有一个不会超过的一半，∴当△与△完全重合时，△与△重叠部分的面积最大，并且最大值为的一半）.

（3）由轴对称可知：，∴

即当为直角三角形时，

.

如图：当点在点右侧时

由轴对称可知：

∴.

∴

.

如图：当点在点左侧时

由轴对称可知：.

∴

综上所述，当为直角三角形时，的度数为或.