Question

如图①，已知AB是⊙O的直径，点D是线段AB延长线上的一个动点，直线DF垂直于射线AB于点D，当直线DF绕点D逆时针旋转时，与⊙O交于点C，且运动过程中，保持CD＝OA

（1）当直线DF与⊙O相切于点C时，求旋转角的度数；

（2）当直线DF与半圆O相交于点C时（如图②），设另一交点为E，连接AE，OC，若AE∥OC．

①AE与OD的大小有什么关系？说明理由．

②求此时旋转角的度数．

Answer

（1）45°；（2）①结论：AE＝OD．②∠CDF＝54°

【解析】

（1）连接OC，因为CD是⊙O的切线，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD=45°即可解决问题；

（2）连接OE，①证明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD；

②利用等腰三角形及平行线的性质，根据三角形内角和定理构建方程可求得∠ODC的度数，即可解决问题；

（1）如图①，连接OC．

∵OC＝OA，CD＝OA，

∴OC＝CD，

∴∠ODC＝∠COD，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD＝90°，

∴∠ODC＝45°；

∴旋转角∠CDF＝90°﹣45°＝45°．

（2）如图②，连接OE．

∵CD＝OA，

∴CD＝OC＝OE＝OA，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵AE∥OC，

∴∠2＝∠3．

设∠ODC＝∠1＝x，则∠2＝∠3＝∠4＝x．

∴∠AOE＝∠OCD＝180°﹣2x．

①结论：AE＝OD．理由如下：

在△AOE与△OCD中，

，

∴△AOE≌△OCD（SAS），

∴AE＝OD．

②∵∠6＝∠1+∠2＝2x．OE＝OC，

∴∠5＝∠6＝2x．

∵AE∥OC，

∴∠4+∠5+∠6＝180°，即：x+2x+2x＝180°，

∴x＝36°．

∴∠ODC＝36°，

∴旋转角∠CDF＝54°．