Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若OB=10，CD=，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，再根据等腰三角形的性质得出一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直角，即可得证；
（2）过O作OG垂直于BE，可得出四边形ODCG为矩形，利用勾股定理求出BG的长，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：连接OD，如图，∵BD为∠ABC平分线，∴∠1=∠2．

∵OB=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BC．

∵∠C=90°，∴∠ODA=90°，∴AC是⊙O的切线；

（2）过O作OG⊥BC，连接OE，则四边形ODCG为矩形，∴GC=OD=OB=10，OG=CD=．在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=5，∴BE=10，则△OBE是等边三角形，∴阴影部分面积为．