Question

一次函数y＝x的图像如图所示，它与二次函数y＝ax²+2ax＋c的图像交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图像的对称轴交于点C．

（1）求点C的坐标；

（2）设二次函数图像的顶点为D．若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于，求此二次函数的关系式．

Answer

（1）点C的坐标为（-1，）；（2）

【解析】

（1）先求出对称轴为x=2，然后求出与一次函数y=-x的交点，即点C的坐标

（2）①先求出点D的坐标，然后根据面积为，得出点A的坐标，最后根据待定系数法求出a的值，即可求出解析式.

（1）∵抛物线的对称轴为x==-1．

∵将x=-1代入y=x得：y=，∴点C的坐标为（-1，）．

（2）①∵点D与点C关于x轴对称，∴点D的坐标为（-1，-），∴CD=．

设△ACD的CD边上的高为h，则 h=，解得h=4

∴点A的横坐标为-4-1=-5或-1+4=3，则点A的纵坐标为或-×3=-4．

即A（-5，）或（3，-4）

设抛物线的解析式为，将A（-5，）代入得：=．

解得：，或将A（3，-4）带入得：-4=a（3+1）2-，解得a=-

∴抛物线的解析式为或．

直线与抛物线相切于点A，仍不合题意，应舍去.

故二次函数的关系式为.