Question

已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？

（2）设四边形APFE的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S_{四边形APFE}∶S_菱形ABCD＝17∶40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．

Answer

（1） 当t=s时，四边形APFD是平行四边形．（2）y=-t2+t+48．（3） PE=（cm）．

【解析】

试题（1））由四边形ABCD是菱形，OA=AC，OB=BD．在Rt△AOB中，运用勾股定理求出AB=10．再由△DFQ∽△DCO．得出．求出DF．由AP=DF．求出t．

（2）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，求出CG．据S梯形APFD=（AP+DF）•CG．S△EFD=EF•QD．得出y与t之间的函数关系式；

（3）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB•CG，求出CG，由S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，据线段关系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6， OB=OD=BD=8．

在Rt△AOB中，AB=10

∵EF⊥BD，

∴∠FQD=∠COD=90°．

又∵∠FDQ=∠CDO，

∴△DFQ∽△DCO．

∴．即

∴DF=

∵四边形APFD是平行四边形，

∴AP=DF．

即10-t=

解这个方程，得t=．

∴当t=s时，四边形APFD是平行四边形．

（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，

∵S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，

即10•CG=×12×16，

∴CG=

∴S梯形APFD=（AP+DF）•CG

=（10-t+）•

=t+48．

∵△DFQ∽△DCO，

∴

即

∴QF=．

同理，EQ=

∴EF=QF+EQ=．

∴S△EFD=EF•QD=××t=．

∴y=（t+48）-=-+t+48．

（3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，

若S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，

则-+t+48=×96，

即5t2-8t-48=0，

解这个方程，得t1=4，t2=-（舍去）

过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，

当t=4时，

∵△PBN∽△ABO，

∴

即

∴PN=，BN=

∴EM=EQ-MQ=3-=

PM=BD-BN-DQ=16--4=

在Rt△PME中，

PE=cm.