Question

已知关于x的方程kx²+（2k﹣1）x+k﹣1＝0（1）只有整数根，且关于y的一元二次方程（k﹣1）y²﹣3y+m＝0（2）有两个实数根y₁和y₂

（1）当k为整数时，确定k的值；

（2）在（1）的条件下，若m＞﹣2，用关于m的代数式表示y₁²+y₂²．

Answer

（1）k＝0，k＝﹣1；（2）当m＞﹣2时，y12+y22＝（y1+y2）2﹣2y1y2＝9+2m.

当m≥﹣时，有y12+y22＝（y1+y2）2﹣2y1y2＝+m．

【解析】

（1）要分两种情况讨论：

①k=0时，（1）方程为一元一次方程，可计算出此时方程的根是否为整数，若是，则k=0符合要求；

②k≠0时，（1）方程为一元二次方程，用因式分解法求出该方程的两个根，再根据这个方程只有整数根的特点，求出k的整数值，再根据的判别式将不合题意的k值舍去．

（2）将（1）得出的k值代入方程（2）中，首先根据根的判别式判断出m的范围，然后用根与系数的关系表示出所求的代数式的值．

【解析】
（1）当k＝0时，方程（1）化为﹣x﹣1＝0，x＝﹣1，方程有整数根

当k≠0时，方程（1）可化为（x+1）（kx+k﹣1）＝0

解得x1＝﹣1，x2＝ ＝﹣1+；

∵方程（1）的根是整数，所以k为整数的倒数．

∵k是整数

∴k＝±1

此时△＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣1）＝1＞0

但当k＝1时，（k﹣1）y2﹣3y+m＝0不是一元二次方程

∴k＝1舍去

∴k＝0，k＝﹣1；

（2）当k＝0时，方程（2）化为﹣y2﹣3y+m＝0

∵方程（2）有两个实数根

∴△＝9+4m≥0，即m≥﹣，又m＞﹣2

∴当m＞﹣2时，y12+y22＝（y1+y2）2﹣2y1y2＝9+2m；

当k＝﹣1时，方程（2）化为﹣2y2﹣3y+m＝0，方程有两个实数根

∴△＝9+8m≥0，即m≥﹣

∵m＞﹣2，

∴当﹣2＜m＜﹣时，方程（2）无实数根

当m≥﹣时，有y12+y22＝（y1+y2）2﹣2y1y2＝+m．