Question

抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）经过点A(-3，0）、B(，0），它与y轴相交于点C，且∠ACB≥90°，设该抛物线的顶点为D，△BCD的边CD上的高为h．

（1）求实数a的取值范围；

（2）求高h的取值范围；

（3）当（1）的实数a取得最大值时，求此时△BCD外接圆的半径．

Answer

（1）0＜a≤；（2）0＜h≤；（3）2．

【解析】

（1）利用直角三角形各边的关系，求得OC2=OA•OB，利用边角关系，代入a值解得．
（2）过D作DE⊥OC，延长DC交x轴于点H，过点B作BF⊥CH于点F．利用顶点公式求得点D，由OC≤3，则tan∠OHC=≤，从而解得．
（3）求得a的最大值，求得h值，可得BD，BC，连接DG，由△DGB∽△BCF求得DG．

【解析】
（1）当∠ACB＝90°时，OC2＝OA•OB，

得OC＝3

又∠ACB≥90°，

故OC≤3，

所以9a≤3，

∴0＜a≤．

（2）过D作DE⊥OC，延长DC交x轴于点H，过点B作BF⊥CH于点F．

因为D为抛物线的顶点，

所以D（-，﹣12a），OE＝12a，

又∵OC＝9a，CE＝3a，DE＝，

易证△HCO∽△DCE，

有＝3，

故OH＝3DE＝3，BH＝OH﹣OB＝2，

又OC≤3，则tan∠OHC＝≤，

于是0＜∠OHC＜30°，

则h＝BF＝BHsin∠BHF≤BHsin30°＝，

从而0＜h≤．

（3）当a取最大值时，a＝，

此时h＝，B（，0），C（0，﹣3），D（-，﹣4），

可求BD＝2，BC＝2，

作直径DG，易证△DGB∽△BCF，，

所以 ．

故DG＝4，

即△BCD外接圆的半径为2．