Question

如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA．

（1）求证：CD是⊙O的切线．

（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE．

Answer

（1）见解析；（2）4.

【解析】

（1）如图1，连结OC，根据直角三角形斜边中点的性质得出OC=OA=OB，进一步得出点C在⊙O上，由等边对等角得出∠A=∠D，然后通过证得△ACB≌△DCO，得出∠DCO=∠ACB=90°，即可证得CD是⊙O的切线；
（2）解直角三角函数即可求得．

（1）证明：如图1，连结OC，

∵点O为直角三角形斜边AB的中点，

∴OC=OA=OB．

∴点C在⊙O上，

∵BD=OB，

∴AB=DO，

∵CD=CA，

∴∠A=∠D，

∴△ACB≌△DCO，

∴∠DCO=∠ACB=90°，

∴CD是⊙O的切线；

（2）如图2，

在Rt△ABC中，BC=ABsin∠A=2×8×sin30°=8，

∵∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°，

∴BE=BCcos60°=8×=4．