Question

如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④ AE²+DF²=AF²+DE²．上述结论中正确的是(   )

A. ②③    B. ②④    C. ①②③    D. ②③④

Answer

D

【解析】

由AD是角平分线及DE、DF均为高可知△AED≌△AFD，则可得AE=AF,DE=DF，继而得到AD是EF的垂直平分线，由此可判断②和③正误，再由勾股定理可判断④的正误，而①的结论无法由已知条件推出.

【解析】
∵AD是角平分线，

∴∠EAD=∠FAD，

∵∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，

∴△ADE≌△AFD，

∴AE=AF，DE=DF，

∴AD⊥EF，②正确，

∵∠BAC=90°，∠AED=∠AFD=90°

又∵AE=AF，

∴四边形AEDF是正方形，③正确，

∵∠AED=∠AFD=90°，

∴AE2+DE2=AF2+DF2=AD2

∵DE=DF，

∴AE2+DF2=AF2+DE2，④正确.

根据前述已得结论，需要四边形AEDF是菱形才能得到OA=OD的结论，而题干并未给出这个条件，①错误，

故选择D.