Question

如图，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°, ∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于E、F．

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（1）如图甲，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；

（2）知识探究：

①如图乙，当顶点G运动到AC的中点时，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；

②如图丙，在顶点G运动的过程中，若，探究线段EC、CF与BC的数量关系；

（3）问题解决：如图丙，已知菱形的边长为8，BG=7，CF=，当＞2时，求EC的长度。

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Answer

（1）证明见解析（2）①线段EC，CF与BC的数量关系为：CE＋CF＝BC.②CE＋CF＝BC（3）

【解析】（1）利用包含60°角的菱形，证明△BAE≌△CAF，可求证.(2)由特殊到一般，证明△CAE′∽△CAE，从而可以得到EC、CF与BC的数量关系.(3) 连接BD与AC交于点H,利用三角函数BH ,AH,CH的长度，最后求BC长度.

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，

∴∠BAC＝60°，∠B＝∠ACF＝60°，AB=BC，AB=AC，

∵∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF＝60°，

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∴∠BAE=∠CAF，

在△BAE和△CAF中，

,

∴△BAE≌△CAF，

∴BE＝CF，

∴EC＋CF＝EC＋BE＝BC，

即EC＋CF＝BC；

（2）知识探究：

①线段EC，CF与BC的数量关系为：CE＋CF＝BC.

②CE＋CF＝BC.

理由如下：

过点A作AE′∥EG，AF′∥GF，分别交BC、CD于E′、F′.

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类比（1）可得：E′C＋CF′＝BC，

∵AE′∥EG，∴△CAE′∽△CAE，

∴，∴CE＝CE′，

同理可得：CF＝CF′，

∴CE＋CF＝CE′＋CF′＝（CE′＋CF′）＝BC，

即CE＋CF＝BC；

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（3）连接BD与AC交于点H，如图所示：

在Rt△ABH中，∵AB＝8，∠BAC＝60°，

∴BH＝ABsin60°＝8×＝，

AH＝CH=ABcos60°＝8×＝4，

∴GH＝＝＝1，

∴CG＝4－1＝3，

∴，

∴t＝（t＞2），

由（2）②得：CE＋CF＝BC，

∴CE＝BC －CF＝×8－＝.