Question

已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是AC的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE＝BF．

(1)求证：DE＝DF；

(2)连接EF，求∠DEF的度数．

Answer

(1)证明见解析；(2)∠DEF＝45°.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得出∠A=∠C=∠DEC=45°，AD=BD=DC，BD⊥AC，根据SAS推出△AED≌△BFD，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据△AED≌△BFD得出DE=DF，∠ADE=∠BDF，求出∠BDA=90°，推出∠EDF=∠BDA=90°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得出即可．

(1)∵△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°，∵D是AC的中点，∴BD＝AD＝DC，∴∠DBF＝∠C＝45°＝∠A，又∵AE＝BF，∴△AED≌△BFD(SAS)，∴DE＝DF(其他证法也可)；

(2)∵AB=BC，AD=CD，∴BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∴∠ADE+∠BDE＝90°，∵△AED≌△BFD，∴∠ADE＝∠BDF，∴∠BDF+∠BDE＝90°，即∠EDF＝90°.由(1)知DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE＝45°．