Question

如图，半圆的半径OC=2，线段BC与CD是半圆的两条弦，BC=CD，延长CD交直径BA的延长线于点E，若AE=2，则弦BD的长为_______．

Answer

【解析】

连接OD，AD，根据已知可得OC平分∠BCD，根据BC=DC，即可得到BD⊥CO，根据已知可以推得CO⊥BD，再根据AB为直径，继而可得AD//CO，结合AE=AO=2，则可得AD=1，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求得BD的长.

连接OD，AD，

∵BC=CD，BO=DO，

∴∠1=∠2，∠3=∠DBO，

∴∠1+∠3=∠2+∠DBO，∴∠CDO=∠CBO，

∵OC=OB=OD，

∴∠BCO=∠DCO，

∴CO为等腰△BCD的角平分线，

∴CO⊥BD，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠3+∠5=∠3+∠4=90°，

∴∠4=∠5，

∴AD//CO，

∵AE=AO=2，∴AD=CO=1，

在Rt△ABD中，BD=.