Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在AB，BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点．

（1）求证：DE=EF；

（2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由；

（3）若AB=3，AE=，求BD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2证明见解析；（3）BD=1.

【解析】

（1）先根据等角对等边得出EA=ED，再在Rt△ADF中根据直角三角形的两锐角互余和等角的余角相等得出∠EAC=∠F，得出EA=EF，等量代换即可解决问题；

（2）结论：BD=CF．如图2中，在BE上取一点M，使得ME=CE，连接DM．想办法证明DM=CF，DM=BD即可；

（3）如图3中，过点E作EN⊥AD交AD于点N．设BD=x，则DN=，DE=AE=，由∠B=45°，EN⊥BN．推出EN=BN=x+=，在Rt△DEN中，根据DN2+NE2=DE2，构建方程即可解决问题．

（1）证明：如图1中，

，

，，

，

，

，，

．

（2）【解析】
结论：．

理由：如图2中，在上取一点，使得，连接．

．，．

，

，，

，

，

，

，

，

．

（3）如图3中，过点作交于点．

，，

，

设，则，，

，．

，

在中，，

解得或（舍弃）

．