Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C

（1）求此二次函数解析式；

（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；

（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值．

Answer

（1）；（2）△BCD为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN为直角三角形时，t的值为1或4．

【解析】

（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；

（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C、D的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD、BD、BC的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD为直角三角形；

（3）根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM2、AN2、MN2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t的无理方程，解之即可得出结论．

（1）将、代入，得：

，解得：，

此二次函数解析式为．

（2）为直角三角形，理由如下：

，

顶点的坐标为．

当时，，

点的坐标为．

点的坐标为，

，

，

．

，

，

为直角三角形．

（3）设直线的解析式为，

将，代入，得：

，解得：，

直线的解析式为，

将直线向上平移个单位得到的直线的解析式为．

联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：，

解得：，，

点的坐标为，，点的坐标为，．

点的坐标为，

，，．

为直角三角形，

分三种情况考虑：

①当时，有，即，

整理，得：，

解得：，（不合题意，舍去）；

②当时，有，即，

整理，得：，

解得：，（不合题意，舍去）；

③当时，有，即，

整理，得：．

，

该方程无解（或解均为增解）．

综上所述：当为直角三角形时，的值为1或4．