Question

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象交x轴于A，D两点，并经过B点，对称轴交x轴于点C，连接BD，BC，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）

（1）求二次函数的解析式．

（2）求该函数图象的顶点坐标及D点的坐标．

（3）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S_△ADP=S_△BCD？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在．请说明理由．

Answer

(1) y=x2-4x+6； (2) 抛物线的顶点坐标为（4，6），D（6，0）；(3)存在，P点坐标为（4+，）或（4-，）或（3，-）或（5，-）．

【解析】

（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）把（1）中的解析式配成顶点式可得到顶点坐标，然后利用抛物线的对称性确定D点坐标；

（3）设P（x，x2-4x+6），利用三角形面积公式得到•（6-2）•|x2-4x+6|=××（6-4）×6，则x2-8x+9=0或x2-8x+15=0，然后分别解两个一元二次方程即可得到P点坐标．

（1）把A（2，0），B（8，6）代入y=x2+bx+c得

，解得，

∴抛物线的解析式为y=x2-4x+6；

（2）∵y=x2-4x+6=（x-4）2+6，

∴抛物线的顶点坐标为（4，6），

∵抛物线的对称轴为直线x=4，A（2，0），

∴D（6，0）；

（3）存在．

设P（x，x2-4x+6），

∵S△ADP=S△BCD，

∴•（6-2）•|x2-4x+6|=××（6-4）×6，

∴x2-8x+9=0或x2-8x+15=0，

解方程x2-8x+9=0得x1=4+，x2=4-，此时P点坐标为（4+，）或（4-，）；

解方程x2-8x+15=0得x1=3，x2=5，此时P点坐标为（3，-）或（5，-）；

综上所述，P点坐标为（4+，）或（4-，）或（3，-）或（5，-）．