Question

如图,△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．

(1)求证：BF＝2AE；

(2)若CD=2，求AD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）AD=2+2.

【解析】

（1）根据角边角定理证明△ADC≌△BDF，得AC=BF，根据等腰三角形三线合一的性质知AC=2AE，从而得BF=2AE;

（2）根据△ADC≌△BDF，得DF=CD，根据勾股定理得CF，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AF=CF，DF+AF即为AD的长.

（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，

∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠CBE＋∠ACD＝90°

∴∠CAD=∠CBE，在△ADC和△BDF中，

，

∴△ADC≌△BDF(ASA)，∴BF＝AC，∵AB＝BC，BE⊥AC，

∴AC=2AF，∴BF=2AE；

(2)【解析】
∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=2，在Rt△CDF中，

，

∵BE⊥AC，AE＝EC，∴AF=CF=2，

∴.