Question

如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH、BE与相交于点G，以下结论中正确的结论有（　　）

（1）△ABC是等腰三角形；（2）BF＝AC；（3）BH：BD：BC＝1：：；（4）GE²+CE²＝BG²．

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】

（1）根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，根据等角的余角相等求出∠A＝∠BCA，再根据等角对等边可得AB＝BC，从而得证；

（2）根据三角形的内角和定理求出∠A＝∠DFB，推出BD＝DC，根据AAS证出△BDF≌△CDA即可；

（3）根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行解答；

（4）由（2）得出BF＝AC，再由BF平分∠DBC和BE⊥AC通过ASA证得△ABE≌△CBE，即得CE＝AE＝AC，连接CG，由H是BC边的中点和等腰直角三角形△DBC得出BG＝CG，再由直角△CEG得出CG2＝CE2+GE2，从而得出CE，GE，BG的关系．

【解析】
（1）∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE，

∵CD⊥AB，

∴∠ABE+∠A＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠BCA，

∴AB＝BC，

∴△ABC是等腰三角形；

故（1）正确；

（2）∵CD⊥AB，BE⊥AC，

∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，

∴∠A+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DFB＝90°，

∴∠A＝∠DFB，

∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，

∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC，

∴BD＝DC，

在△BDF和△CDA中

，

∴△BDF≌△CDA（AAS），

∴BF＝AC；

故（2）正确；

（3）∵在△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝45°，

∴∠DCB＝45°，

∴BD＝CD，BC＝BD．

由点H是BC的中点，

∴DH＝BH＝CH＝BC，

∴BD＝BH，

∴BH：BD：BC＝BH： BH：2BH＝1：：2．

故（3）错误；

（4）由（2）知：BF＝AC，

∵BF平分∠DBC，

∴∠ABE＝∠CBE，

又∵BE⊥AC，

∴∠AEB＝∠CEB，

在△ABE与△CBE中，

，

∴△ABE≌△CBE（AAS），

∴CE＝AE＝AC，

∴CE＝AC＝BF；

连接CG．

∵BD＝CD，H是BC边的中点，

∴DH是BC的中垂线，

∴BG＝CG，

在Rt△CGE中有：CG2＝CE2+GE2，

∴CE2+GE2＝BG2．

故（4）正确．

综上所述，正确的结论由3个．

故选：C．