Question

如图，△AMN为等腰三角形，点O是底边MN的中点，腰AN与⊙O相切于点E，ON与⊙O相交于点D．

（1）求证：AM与⊙O相切；

（2）若EN=，DN=2．求阴影部分的面积．

Answer

(1)证明见解析；(2)

【解析】

（1）作辅助线证明△AOM≌△AON,即可解题,（2）利用S阴影=S△AMN-S△OEN- S△MFO - S扇形OEF即可解题.

【解析】
（1）连接OA,OE,过点O作OF⊥AM与F,

∵△AMN为等腰三角形，点O是底边MN的中点，

∴AM=AN,OM=ON,

∴△AOM≌△AON（SSS）,

∴OE=OF,

∵腰AN与⊙O相切于点E，

∴AM与⊙O相切,

（2）∵EN=，DN=2,

设圆O半径=r,

∴r2+()2=(r+2)2,解得：r=2,

∴OE=2,ON=4,

∴∠N=30°,OA=tan30°ON=,

S△AMN=,

S△OEN=S△MFO=,

S扇形OEF==,

∴S阴影==.