Question

如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝2，BC＝，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．

（1）当点E与点C重合时，求DF的长；

（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE＝22.5°，求△DFG的面积；

（3）如果点M为CD的中点，那么在点E从点C移动到点D的过程中，求C′M的最小值.

Answer

(1) DF=；(2) ；(3) 4-

【解析】

（1）根据特殊直角三角形求出∠FCD=30°, 在Rt△CDF中利用三角函数即可求解,

（2）由旋转的性质证明△DFG,△EG C′是等腰直角三角形,求出DF的长即可解题,

（3）找到C′,在Rt△ADM中和Rt△A B′C′中,勾股定理求出AM和A C′的长即可解题.

【解析】
（1）如下图,

∵四边形ABCD是矩形, AB＝2，BC＝，

∴易证∠ACB=30°,

由旋转可知∠ACF=30°,

∴∠FCD=30°,

在Rt△CDF中,DF=tan30°CD=,

（2）如下图,由旋转可知,AB= AB′=2,BC= B′C′=,

∵∠DAE＝22.5°，

∴∠BAE=67.5°,∠B′AF=45°,

∴△DFG,△EG C′是等腰直角三角形,

∴AF=2,DF=-2,

S△DFG=DF2=,

（3）连接AM并延长到点C′,连接A C′,M C′即为所求,见下图,

∵M为CD的中点,

∴DM=1,

在Rt△ADM中,AM=,

在Rt△A B′C′中, A C′=4,

∴M C′=4-.