Question

已知关于x的方程x²﹣2（m+1）x+m²+2=0．

（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；

（2）若两实数根x₁、x₂满足（x₁+1）（x₂+1）=8，求m的值．

Answer

（1）；(2) ，

【解析】

（1）由方程有两个实数根结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；

（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=2（m+1）、x1x2=m2+2，结合（x1+1）（x2+1）=8可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合m的取值范围即可确定m的值．

（1）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2=0总有两个实数根，

∴△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+2）=8m﹣4≥0，

解得：m≥．

（2）∵x1、x2为方程x2﹣2（m+1）x+m2+2=0的两个根，

∴x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+2．

∵（x1+1）（x2+1）=8，

∴x1x2+（x1+x2）+1=8，

∴m2+2+2（m+1）+1=8，

整理，得：m2+2m﹣3=0，即（m+3）（m﹣1）=0，

解得：m1=﹣3（不合题意，舍去），m2=1，

∴m的值为1．