Question

已知△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，且DA∶AB=1∶2．

（1）求∠CDB的度数；

（2）在切线DC上截取CE=CD，连接EB，判断直线EB与⊙O的位置关系，并证明．

Answer

（1）；（2）直线EB与相切，证明见解析.

【解析】试题（1）根据DA:AB=1:2，得到DA等于圆的半径．连接过切点的半径，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识求解；
（2）连接OC．根据（1）中的结论，可以知道直角有一个角为30°．根据圆周角定理发现得到进一步得到等边．则根据切线的判定即可证明．

试题解析：(1)如图，连接OC，

∵CD是的切线，

设的半径为R，则AB=2R，

∵DA:AB=1:2，

∴DA=R，DO=2R.

在Rt△DOC中,

即

(2)直线EB与相切，

证明：连接OC，

由(1)可知

∵OC=OB，

∴∠CBD=∠CDB.

∴CD=CB.

∵CD是的切线，

又∵CD=CE，

∴CB=CE.

∴△CBE为等边三角形,

∴EB是的切线.