Question

如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．

（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC．

（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）（2）结论仍成立.理由见解析

【解析】

试题（1）由题中条件可得，∠DCA=∠BCA=30°，在直角三角形中可得AC=2AD，AC=2AB，所以AD+AB=AC．

（2）在AN上截取AE=AC，连接CE，可得△CAE为等边三角形，进而可得△ADC≌△EBC，即DC=BC，DA=BE，进而结论得证．

试题解析：（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，

∴∠DAC=∠BAC=60°

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴∠DCA=∠BCA=30°，

在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°

∴AC=2AD，AC=2AB，

∴AD+AB=AC；

（2）【解析】
结论AD+AB=AC成立．

理由如下：在AN上截取AE=AC，连接CE，

∵∠BAC=60°，

∴△CAE为等边三角形，

∴AC=CE，∠AEC=60°，

∵∠DAC=60°，

∴∠DAC=∠AEC，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，

∴∠ADC=∠EBC，

∴△ADC≌△EBC，

∴DC=BC，DA=BE，

∴AD+AB=AB+BE=AE，

∴AD+AB=AC．