Question

在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，且OA=6，OB=8，点D是AB的中点．

（1）直接写出点D的坐标及AB的长；

（2）若直角∠NDM绕点D旋转，射线DP分别交x轴、y轴于点P、N，射线DM交x轴于点M，连接MN．

①当点P和点N分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴时，若△PDM∽△MON，求点N的坐标；

②在直角∠NDM绕点D旋转的过程中，∠DMN的大小是否会发生变化？请说明理由．

Answer

（1）点D的坐标为（3，4），AB=10；（2）①点N的坐标为（0， ）；②在直角∠NDM绕点D旋转的过程中，∠DMN的大小不会发生变化，理由见解析

【解析】

（1）根据OA＝6，OB＝8，点D是AB的中点，可得点D的坐标为（3，4），根据勾股定理可得AB10；

（2）①先过点D作DC⊥y轴于C，作DE⊥x轴于E，则得出CD＝3＝OE，DE＝4＝CO，∠DCN＝∠DEM＝90°，再设ON＝x，则CN＝4﹣x，判定△CDN∽△EDM，得出EM（4﹣x），判定△CDN∽△OPN，得出OP，再根据PO＝MO，得出关于x的方程（4﹣x），求得x的值即可得到点N的坐标；

②先根据△CDN∽△EDM，得到，再根据OA＝6，OB＝8，得到，最后根据，∠AOB＝∠NDM＝90°，判定△AOB∽△NDM，根据相似三角形的对应角相等，可得∠DMN＝∠OBA，进而得到∠DMN的大小不会发生变化．

（1）∵OA＝6，OB＝8，点D是AB的中点，∴点D的坐标为（3，4），AB10；

（2）①如图，过点D作DC⊥y轴于C，作DE⊥x轴于E，则

CD＝3＝OE，DE＝4＝CO，∠DCN＝∠DEM＝90°，设ON＝x，则CN＝4﹣x．

∵∠CDE＝∠PDM＝90°，∴∠CDN＝∠EDM，∴△CDN∽△EDM，∴，即，∴EM（4﹣x）．

∵CD∥PO，∴△CDN∽△OPN，∴，即，∴OP．

∵△PDM∽△MON，∴∠NPO＝∠NMO，∴PN＝MN．

∵NO⊥PM，∴PO＝MO，即（4﹣x），解得：x1＝10（舍去），x2，∴ON，∴点N的坐标为（0，）；

②在直角∠NDM绕点D旋转的过程中，∠DMN的大小不会发生变化．理由如下：

由①可得：△CDN∽△EDM，∴，即．

又∵OA＝6，OB＝8，∴，∴，即．

又∵∠AOB＝∠NDM＝90°，∴△AOB∽△NDM，∴∠DMN＝∠OBA．

∵∠OBA大小不变，∴∠DMN的大小不会发生变化．