Question

在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+a（a＞0）分别与x 轴、y 轴交于A、B 两点，C、D 的坐标分别为 C（0，b）、D（2a，b﹣a）（b＞a）．

（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；

（2）若点C、D关于直线AB的对称点分别为C′、D′．

①当b=3时，试问：是否存在满足条件的a，使得△BC′D′面积为？

②当点C′恰好落在x轴上时，试求a 与b的函数表达式．

Answer

（1）四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）①不存在满足条件的a，使得△BC'D'的面积为；②a 与b的函数表达式a=b（b＞0）

【解析】

（1）先利用坐标轴上点的特点确定出点A，B坐标，进而得出BC＝b﹣a，再利用点A，D坐标的得出AD＝b﹣a＝BC，另为利用A，D点的坐标特点得出AD∥BC即可得出结论；

（2）①利用对称性和（1）中得出的四边形ABCD是平行四边形，即可得出S△BC'D'＝S△BCD，根据三角形的面积公式得出S△BC'D'＝a（3﹣a），建立方程，判断出此方程无解，即可得出不存在满足条件的a，使得△BC′D′面积为；

②利用同角的余角相等得出，∠CC'O＝∠ABO进而得出∠△CC'O∽△ABO，得出C'O，最后用勾股定理即可得出结论．

（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：

∵直线yx+a（a＞0）分别与x 轴、y 轴交于A、B 两点，∴A（2a，0），B（0，a）．

∵C（0，b）、（b＞a），∴BC＝b﹣a．

∵D（2a，b﹣a），∴AD＝b﹣a＝BC．

∵A（2a，0），D（2a，b﹣a），∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．

（2）①不存在满足条件的a，使得△BC'D'的面积为，理由如下：

如图1，连接BD，BD'，过点D作DE⊥y轴于E，∴DE＝OA＝2a．

∵点C、D关于直线AB的对称点分别为C′、D′，∴S平行四边形ABC'D'＝S平行四边形ABCD．

∵DB，BD'分别是平行四边形ABCD，ABC'D的对角线，∴S△BC'D'＝S△BCDBC•DE（b﹣a）•2a＝a（b﹣a）．

∵b＝3，∴S△BC'D'＝a（3﹣a），假设存在存在满足条件的a，使得△BC′D′面积为，∴a（3﹣a），∴2a2﹣6a+5＝0，而△＝36﹣4×2×5＝﹣4＜0，∴此方程无解，假设错误，∴不存在满足条件的a，使得△BC'D'的面积为；

②如图2，连接CC'，则直线AB垂直平分线CC'，∴∠CC'O+∠C'AB＝90°．

∵∠C'AB+∠ABO＝90°，∴∠CC'O＝∠ABO．

∵∠COC'＝∠AOB＝90°，∴△CC'O∽△ABO，∴，∴，∴C'O，由轴对称的性质得：BC'＝BC＝b﹣a．在Rt△BC'O中，OB2+C'O2＝C'B2，∴a2+（）2＝（b﹣a）2，∴3b2﹣8ab＝b（3b﹣8a）＝0．

∵b＞a＞0，∴3b﹣8a＝0，∴，∴a 与b的函数表达式ab（b＞0）．