Question

如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF=DC，连结EF并延长交BC的延长线于点G，连结BE．

（1）求证：△ABE∽△DEF．

（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

Answer

（1）见解析；（2）BG=BC+CG=10．

【解析】

（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得AE：AB=DF：DE，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；

（2）根据相似三角形的预备定理得到△EDF∽△GCF，再根据相似的性质即可求得CG的长，那么BG的长也就不难得到.

（1）证明：∵ABCD为正方形，

∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90 °.

∵AE=ED，

∴AE：AB=1：2.

∵DF=DC，

∴DF：DE=1：2，

∴AE：AB=DF：DE，

∴△ABE∽△DEF；

（2）【解析】
∵ABCD为正方形，

∴ED∥BG，

∴△EDF∽△GCF，

∴ED：CG=DF：CF.

又∵DF=DC，正方形的边长为4，

∴ED=2，CG=6，

∴BG=BC+CG=10.