Question

如图①，两同心圆的圆心为O,大圆的弦AB与小圆相切于点P,已知两圆的半径分别为2和1.

(1)用阴影部分的扇形围成一个圆锥(OA与OB重合)，求该圆锥的底面半径．

(2)用余下部分再围成一个圆锥(如图②所示)，若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，求小虫爬行的最短路线的长．

Answer

（1）圆锥的底面半径为；（2）小虫爬行的最短路线为.

【解析】

（1）利用30°角的性质可求得∠A的度数，进而求出∠AOB的度数，可求优弧AB的长度，除以2π即为圆锥的底面半径；

（2）由题意知，小虫爬行的最短路线是弦AB的长，利用垂径定理和勾股定理即可求得弦AB的长；

(1)连接OP，

则OP⊥AB，

∵OA=2,OP=1,

∴∠A=30°,

∴∠AOB=180°-30°-30°=120°,

∴优弧AB的长为：

∴圆锥的底面半径为：=

(2)由勾股定理得，AP=，

∵OP⊥AB，

∴AB=2AP=.

∴小虫爬行的最短路线为.