Question

某大学生利用业余时间参与了一家网店经营,销售一种成本为30元/件的文化衫,根据以往的销售经验,他整理出这种文化衫的售价y₁(元/件),销量y₂(件)与第x(1≤x<90)天的函数图象如图所示(销售利润=(售价-成本)×销量).

(1)求y₁与y₂的函数解析式.

(2)求每天的销售利润W与x的函数解析式.

(3)销售这种文化衫的第多少天,销售利润最大,最大利润是多少?

   

Answer

（1）y2与x的函数关系式为y2=-2x+200(1≤x<90)；（2）W=

（3）销售这种文化衫的第45天,销售利润最大,最大利润是6050元.

【解析】试题（1）待定系数法分别求解可得；
（2）根据：销售利润=（售价-成本）×销量，分1≤x＜50、50≤x＜90两种情况分别列函数关系式可得；
（3）当1≤x＜50时，将二次函数关系式配方后依据二次函数性质可得此时最值情况，当50≤x＜90时，依据一次函数性质可得最值情况，比较后可得答案．

试题解析：(1)当1≤x<50时,设y1=kx+b,

将(1,41),(50,90)代入,

得解得

∴y1=x+40,

当50≤x<90时,y1=90,

故y1与x的函数解析式为y1=

设y2与x的函数解析式为y2=mx+n(1≤x<90),

将(50,100),(90,20)代入,

得解得:

故y2与x的函数关系式为y2=-2x+200(1≤x<90).

(2)由(1)知,当1≤x<50时,

W=(x+40-30)(-2x+200)=-2x2+180x+2000;

当50≤x<90时,

W=(90-30)(-2x+200)=-120x+12000;

综上,W=

(3)当1≤x<50时,∵W=-2x2+180x+2000=-2(x-45)2+6050,

∴当x=45时,W取得最大值,最大值为6050元;

当50≤x<90时,W=-120x+12000,

∵-120<0,W随x的增大而减小,

∴当x=50时,W取得最大值,最大值为6000元;

综上,当x=45时,W取得最大值6050元.

答:销售这种文化衫的第45天,销售利润最大,最大利润是6050元.