Question

如图1，已知△ABC中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm /s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）.解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC.

（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由.

（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）当s时，PQ∥BC．（2）不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．（3）存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2．

【解析】（1）证△APQ∽△ABC，推出=，代入得出=，求出方程的解即可；（2）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，得出方程-t2+6t=××8×6，求出此方程无解，即可得出答案.

（3）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、OD、和PD的长度；然后在Rt△PQD中，根据勾股定理列出方程（8-t）2-（6-t）2=（2t）2，求得时间t的值；最后根据菱形的面积等于△AQP的面积的2倍，进行计算即可.

【解析】
（1）BP=2t，则AP=10﹣2t．

∵PQ∥BC，

∴△APQ∽△ABC，

∴=，

即=，

解得：t=,

∴当t=时，PQ∥BC.

（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．

∴PD∥BC，∴，即，解得．

，

假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，

则有S△AQP= S△ABC，而S△ABC=AC•BC=24，∴此时S△AQP=12．

而S△AQP，

∴，化简得：t2﹣5t+10=0，

∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，

∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．

（3）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．

如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，

∴，即，

解得： ， ，

∴QD=AD﹣AQ= ．

在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，

即，

化简得：13t2﹣90t+125=0，

解得：t1=5，t2= ，

∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=．

由（2）可知，S△AQP=

∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×=cm2．

所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2．

“点睛”本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力.解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形，根据相似三角形的对应边成比例以及勾股定理进行列式求解.