Question

已知关于x的一元二次方程x²＋(2k－1)x＋k²＝0有两个实根x₁和x₂

(1) 求实数k的取值范围

(2) 若方程两实根x₁、x₂满足x₁²－x₂²＝0，求k的值

Answer

（1）；(2) k＝或

【解析】

(1)根据方程的系数结合根的判别式△≥0,即可得出关于k的一元一次不等式,解之即可得出实数k的取值范围; 
(2)由x12－x22＝0可得出x1＋x2＝0或x1-x2＝0,当x1＋x2＝0时,利用根与系数的关系可得出关于k的一元一次方程,解之结合(1)的结论可得出该情况不符合题意;当x1-x2＝0时,结合(1)即可求出k值,即可求解.

(1)∵原方程有两个实数根，

∴△＝(2k－1)2－4k2＝－4k＋1≥0，得.

(2)∵x12－x22＝0,即(x1+ x2)( x1− x2)=0，

∴x1＋x2=0或x1-x2＝0.

当x1＋x2=0时,有−(2k−1)=0，

解得：k=，

∵>.，

∴k=不合题意，舍去；

当x1-x2＝0时, x1=x2，

∴△=0，即−4k+1=0，

解得：k=，

∴当x12－x22＝0时k=.