Question

如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF.

（1）求证：△ADE≌△CDF

（2）如图2连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．求证：四边形EDFG是正方形.

（3）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？直接写出点E的位置及四边形EDFG面积的最小值．

   

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当点E位于AC中点时，面积最小，最小值是4

【解析】

（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF（SAS）;(2)根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；（3）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．

（1）证明：连接CD，如图1所示．

∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．
在△ADE和△CDF中，

，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；

(2) ∵△ADE≌△CDF（SAS）,

∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△EDF为等腰直角三角形．
∵O为EF的中点，GO=OD，
∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，
∴四边形EDFG是正方形；

(3) 【解析】
过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示．

∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴DE′= BC=2，AB=4，点E′为AC的中点，
∴2≤DE＜2（点E与点E′重合时取等号）．
∴4≤S四边形EDFG=DE2＜8．
∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．