Question

如图，以等腰直角三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA₁，再以等腰直角三角形ABA₁的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A₁BB₁……如此作下去，若OA＝OB＝1.

(1)A₁B＝________，S△A₁B₁A₂＝________；

(2)试猜想第n个等腰直角三角形的面积S_n.

Answer

（1）2,4；（2）Sn＝2n－2.

【解析】

本题要先根据已知的条件求出S1、S2的值,然后通过这两个面积的求解过程得出一般化规律,进而可得出Sn的表达式.

【解析】
(1)2； 4.

∵△AOB是等腰直角三角形，∴AB=，同理A1B=等，所以A1B＝2，S△A1B1A2=4.

(2)∵OA＝OB＝1，∠AOB＝90°，∴AB＝，S1＝×1×1＝＝2－1.∵AA1＝AB＝，∠A1AB＝90°，∴A1B＝2，S2＝××＝1＝20.

∵BB1＝A1B＝2，∠A1BB1＝90°，∴A1B1＝2，S3＝×2×2＝2＝21.

∵A2A1＝A1B1＝2，∠A2A1B1＝90°，∴A2B1＝4，S4＝×2×2＝4＝22.

由此可猜想Sn＝2n－2.