Question

如图，CB∥OA，∠B＝∠A＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF．

（1）求∠EOC的度数；

（2）若平行移动AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；

（3）在平行移动AC的过程中，是否存在某种情况，使∠OEB＝∠OCA？若存在，求出∠OCA度数；若不存在，说明理由．

Answer

（1）40°；（2）不变，＝1：2；（3）∠OCA＝60°．

【解析】

（1）由于BC∥OA，∠B＝100°，易求∠AOB，而OE、OC都是角平分线，从而可求∠COE；

（2）利用BC∥OA，可知∠AOC＝∠BCO，又因为∠AOC＝∠COF，所以就有∠FCO＝∠FOC，即∠BFO＝2∠FCO＝2∠OCB，那么∠OCB：∠OFB＝1：2；

（3）设∠OCA＝α，∠AOC＝x，根据三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平行线的性质可得，α+x＝80°，40°+x＝α，解即可．

【解析】
（1）∵CB∥OA，

∴∠BOA+∠B＝180°，

∴∠BOA＝80°，

∵∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF，

∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝∠BOF+∠FOA＝（∠BOF+∠FOA）＝×80°＝40°；

（2）不变．

∵CB∥OA，

∴∠OCB＝∠COA，∠OFB＝∠FOA，

∵∠FOC＝∠AOC，

∴∠COA＝∠FOA，即∠OCB：∠OFB＝1：2．

（3）在平行移动AC的过程中，存在∠OEB＝∠OCA，且∠OCA＝60°．

设∠OCA＝α，∠AOC＝x，

∵∠OEB＝∠COE+∠OCB＝40°+x，

∠ACO＝80°﹣x，

∴α＝80°﹣x，40°+x＝α，

∴x＝20°，α＝60°．