Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD＝45°．

(1)若AB＝4，求的长；

(2)若＝，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线．

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，可得∠COD=90°，根据弧长公式计算即可得到结论；

（2）由已知条件得到∠BOC=∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD=45°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD=67.5°，利用角和角的关系，求得ADP=∠CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到结论．

【解析】

（1）连接OC，OD，

∵∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，

∴∠COD＝90°，

∵AB＝4，

∴OC＝AB＝2，

∴的长＝×π×2＝π；

（2）∵＝，

∴∠BOC＝∠AOD，

∵∠COD＝90°，

∴∠AOD＝45°，

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD，

∵∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，

∴∠ODA＝67.5°，

∵AD＝AP，

∴∠ADP＝∠APD，

∵∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°，

∴∠ADP＝∠CAD＝22.5°，

∴∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，

∴PD是⊙O的切线．