Question

如图，⊙P的圆心P(m，n)在抛物线y＝上．

(1)写出m与n之间的关系式；

(2)当⊙P与两坐标轴都相切时，求出⊙P的半径；

(3)若⊙P的半径是8，且它在x轴上截得的弦MN，满足0≤MN≤2时，求出m、n的范围．

Answer

（1）n＝m2；（2）⊙P的半径为2；（3）≤m≤4或﹣4≤m≤﹣；7≤n≤8．

【解析】

（1）将点P（m，n）代入抛物线解析式y=x2可得m与n之间的关系式；

（2）根据⊙P与两坐标轴都相切知|m|=m2 ，解之可得m的值，但要根据实际情况取舍，从而得出⊙P的半径；

（3）作PK⊥MN于点K，连接PM，分别求出MN=0和MN=2时PK的值，据此可得PK=m2的范围是7≤m2≤8，解不等式即可．

【解析】
（1）∵点P（m，n）在抛物线y＝上，

∴n＝m2；

（2）当点P（m， m2）在第一象限时，

由⊙P与两坐标轴都相切知m＝m2，

解得：m＝0（舍）或m＝2，

∴⊙P的半径为2；

当点P（m，m2）在第三象限时，

由⊙P与两坐标轴都相切知﹣m＝m2，

解得：m＝0或m＝﹣2，

∴⊙P的半径为2；

（3）如图，作PK⊥MN于点K，连接PM，

当MN＝2时，MK＝MN＝，

∵PM＝8，

则PK＝＝＝7，

当MN＝0时，PK＝8，

∴7≤PK≤8，即7≤n≤8，

∵n＝m2，

∴7≤m2≤8，

解得：≤m≤4或﹣4≤m≤﹣．