Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．

（1）求直线CD的解析式；

（2）求抛物线的解析式；

（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；

（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）。

设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），

将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：。

∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1。

（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，

将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=。

∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1。

（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，

∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°。

∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴。

∴点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，

∴点E的坐标为（4，1）。

如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，

则F（2，1）。

∴ME=CM=QM=2。

∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形。

∴∠QEC=∠QCE=45°。

又∵△OCD为等腰直角三角形，

∴∠ODC=∠OCD=45°。

∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°。∴△CEQ∽△CDO。

（4）存在。

如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度。

（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．

由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′。

而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，

由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长。）

如答图③所示，连接C′E，

∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，

∴△QC′E为等腰直角三角形。

∴△CEC′为等腰直角三角形。

∴点C′的坐标为（4，5）。

∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（﹣1，0）。

过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，

在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：

。

综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为。

【解析】（1）利用待定系数法求出直线解析式。

（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式。

（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形。

（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度。

利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小。

如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值。