Question

如图，已知AB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若DE=3，CE=2，

①求值；

②若点G 为AE上一点，求OG+EG最小值．

Answer

（1）证明见解析（2）① ②3

【解析】

（1）作辅助线，连接OE．根据切线的判定定理，只需证DE⊥OE即可；

（2）①连接BE．根据BC、DE两切线的性质证明△ADE∽△BEC；又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相等求得△ABE∽△AFD，所以；

②连接OF，交AD于H，由①得∠FOE=∠FOA=60°,连接EF，则△AOF、△EOF都是等边三角形，故四边形AOEF是菱形，由对称性可知GO=GF,过点G作GM⊥OE于M，则GM=EG，OG+EG=GF+GM,根据两点之间线段最短，当F、G、M三点共线，OG+EG=GF+GM=FM最小，此时FM =3.故OG+EG最小值是3.

（1）连接OE

∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO

∵∠FAE=∠EAO，∴∠FAE=∠AEO

∴OE∥AF

∵DE⊥AF，∴OE⊥DE

∴DE是⊙O的切线

（2）①【解析】
连接BE

∵直径AB ∴∠AEB=90°

∵圆O与BC相切

∴∠ABC=90°

∵∠EAB+∠EBA=∠EBA+∠CBE=90°

∴∠EAB=∠CBE

∴∠DAE=∠CBE

∵∠ADE=∠BEC=90°

∴△ADE∽△BEC

∴

②连接OF，交AD于H，

由①，设BC=2x，则AE=3x

∵△BEC∽△ABC ∴

∴

解得：x1=2，（不合题意，舍去）

∴AE=3x=6，BC=2x=4，AC=AE+CE=8

∴AB=，∠BAC=30°

∴∠AEO=∠EAO=∠EAF=30°，∴∠FOE=2∠FAE=60°

∴∠FOE=∠FOA=60°,连接EF，则△AOF、△EOF都是等边三角形，∴四边形AOEF是菱形

由对称性可知GO=GF,过点G作GM⊥OE于M，则GM=EG，OG+EG=GF+GM,根据两点之间线段最短，当F、G、M三点共线，OG+EG=GF+GM=FM最小，此时FM=FOsin60o=3.

故OG+EG最小值是3.