Question

在平面直角坐标系中，已知二次函数（a＞0）图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交于点C，顶点为D ．

（1）求点A、B的坐标；

（2）若M为对称轴与x轴交点，且DM=2AM，

①求二次函数解析式；

②当30°＜∠ADM＜45°时，求a的取值范围．

Answer

（1）A（－1,0），B（3,0）（2）① ②＜a＜．

【解析】

（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；

（2）①根据含数值相等点关于对称轴对称，可得抛物线的对称轴，根据DM与AM的关系，可得顶点的纵坐标，根据待定系数法，可得答案．

②根据正切函数，可得顶点的纵坐标，根据待定系数法，可得a的值，根据|a|的值越大，抛物线的开口越小，可得答案．

（1）令y=0，得，

解得，x2=3．

∴A（－1,0），B（3,0）．

（2）①∴AB=4．

∵抛物线对称轴为x=1，

∴AM=2．

∵DM=2AM，

∴DM=4．

∴D（1,－4）．

∴a=1．

∴抛物线的表达式为

②∴AB=4．

∵抛物线对称轴为x=1，

∴AM=2．

当∠ADM=45°时，tan45°==1，解得DM=2，

即D（1，-2），

将D点坐标代入函数解析式，得

a-2a-3a=-2

a=．

当∠ADM=30°时，tan30°==，解得DM=2，

即D（1，-2），

将D点坐标代入函数解析式，得

a-2a-3a=-2

a=．

由|a|的值越大，抛物线的开口越大小，得

30°＜∠ADM＜45°时，

∴＜a＜．