Question

如图，O为直线AB上一点，OC为射线，OD、OE分别为∠AOC、∠BOC的平分线．

（1）判断射线OD、OE的位置关系，并说明理由；

（2）若∠AOD＝30°，求证：OC为∠AOE的平分线；

（3）如果∠AOD：∠AOE＝2：11，求∠BOE的度数．

Answer

（1）垂直（2）证明见解析（3）70°

【解析】

由OD、OE分别为∠AOC、∠BOC的平分线，可得∠DOE为180°的一半，可得OD⊥OE；

由OD为∠AOC的平分线和∠AOD=30°得到∠COD=∠AOD=30°，由（1）得∠DOE=90°，可得∠COE=60°，又由∠AOC=60°，可得OC为∠AOE的平分线；

由OD⊥OE和∠AOD︰∠AOE=2︰11即可求.

（1）垂直

∵OD、OE分别为∠AOC、∠BOC的平分线，

∴∠COD=∠COA ∠COE=∠COB.

∴∠EOD=∠COA+∠COB=∠AOB=90°.

∴ OD⊥OE.

（2）∵∠AOD=30°，

∴∠COD=30°.

∴∠COE=90-30=60°,∠COA=60°

∴∠COE=∠COA.

∴OC为∠AOE的平分线.

（3）∵∠AOD︰∠AOE=2︰11，

∴∠AOD︰∠DOE=2︰9.

∴∠AOD=20° .

∴∠BOE=90°-20°=70°.