Question

如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45⁰ ，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60⁰和30⁰，设PQ垂直于AB，且垂足为C.

（1）求∠BPQ的度数；

（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m， ）

Answer

（1）∠BPQ=30°；（2）树PQ的高度约为15.8m.

【解析】 (1）根据题意题可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=100m，在Rt△PBC中，根据三角形内角和定理即可得∠BPQ度数；

（2）设CQ=x，在Rt△QBC中，根据30度所对的直角边等于斜边的一半得BQ=2x，由勾股定理得BC=x；根据角的计算得∠PBQ=∠BPQ=30°，由等角对等边得PQ=BQ=2x，用含x的代数式表示PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，又∠A=45°，得出AC=PC，建立方程解之求出x，再将x值代入PQ代数式求之即可.

（1）依题可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=10m，

在Rt△PBC中，

∵∠PBC=60°，∠PCB=90°，

∴∠BPQ=30°；

（2）设CQ=x，

在Rt△QBC中，

∵∠QBC=30°，∠QCB=90°，

∴BQ=2x，BC=x，

又∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，

∴∠PBQ=30°，

由（1）知∠BPQ=30°，

∴PQ=BQ=2x，

∴PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，

又∵∠A=45°，

∴AC=PC，

即3x=10+x，

解得：x=，

∴PQ=2x=≈15.8（m），

答：树PQ的高度约为15.8m.