Question

如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．

(1)求证：AD是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为5，CE=2，求EF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；

（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

（1）∵BC是⊙O的直径，∴∠BAF+∠FAC=90°．

∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，∴∠D+∠AOD=90°，∴∠OAD=90°，∴AD是⊙O的切线；

（2）连接BF．

∵∠FAC=∠AOD，∠ACE=∠ACE，∴△ACE∽△OCA，∴，∴，∴AC=AE．

∵∠CAE=∠CBF，∠AEC=∠BEF，∴△ACE∽△BFE，∴，∴，∴EF．