Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线与反比例函数（k≠0）的图象交于点A，且点A的横坐标为1，点B是x轴正半轴上一点，且AB⊥OA．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求点B的坐标；

（3）先在∠AOB的内部求作点P，使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等，且PA=PB；再写出点P的坐标．（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点P）

Answer

（1）；（2）（4，0）；（3）作图见解析，P（3，）．

【解析】

（1）利用待定系数法先求出点A纵坐标，再求出反比例系数k即可．

（2）过点A作AC⊥OB⊥，垂足为点C．在Rt△AOC中先求出OA，再在Rt△AOB中求出OB即可解决问题．

（3）画出∠AOB的平分线OM，线段AB的垂直平分线EF，OM与EF的交点就是所求的点P，设点P（m，m），根据PA2=PB2，列出方程即可解决问题．

（1）由题意，设点A的坐标为（1，m）．

∵点A在正比例函数yx的图象上，∴m．∴点A的坐标（1，）．

∵点A在反比例函数y的图象上，∴，解得：k，∴反比例函数的解析式为y．

（2）过点A作AC⊥OB于C，可得：OC=1，AC．

∵AC⊥OB，∴∠ACO=90°．

由勾股定理，得：AO=2，∴OCAO，∴∠OAC=30°，∴∠AOC=60°．

∵AB⊥OA，∴∠OAB=90°，∴∠ABO=30°，∴OB=2OA，∴OB=4，∴点B的坐标是（4，0）．

（3）如图，作∠AOB的平分线OM，AB的垂直平分线EF，OM与EF的交点就是所求的点P．

∵∠POB=30°，∴可以设点P坐标（m，m）．

∵PA2=PB2，∴（m﹣1）2+（）2=（m﹣4）2+（m）2，解得：m=3，∴点P的坐标是（3，）．