Question

如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.

(1)求证：AM⊥DM；

(2)若BC＝8，求点M到AD的距离．

Answer

（1）证明见解析（2）4

【解析】

（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；

（2）作MN⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN，MN=CM，即．

（1）∵AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴2∠MAD+2∠ADM=180°，

∴∠MAD+∠ADM=90°，

∴∠AMD=90°，

即AM⊥DM；

（2）过M作MN⊥AD于点N，

∵AB∥CD，∠B＝90°，

∴∠C＝90°，即BM⊥AB，MC⊥DC，

又∵AM，DM分别平分∠BAD，∠ADC，BC＝8，

∴BM＝MN，MN＝MC，

∴，

∴M到AD的距离为4.