Question

如图与都是以为直角顶点的等腰直角三角形， 交于点，若， ，当是直角三角形时，则的长为__________．

Answer

或

【解析】∵△ABC、△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，

∴在△ABD和△ACE中： ，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE.

①如图，当∠CFE=90°时，AF⊥DE，

∴AF=EF=AE=，

∴CF=AC-AF=5-3=2，

∴在Rt△CEF中，CE=，

∴BD=CE=.

②如图：当∠CEF=90°时，∠AEC=90°+45°=135°，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=135°，

∴∠ADB+∠ADE=135°+45°=180°，

∴点B、D、F三点共线，

过点A作AG⊥DE于点G，

则AG=DG=AD=，

∴在Rt△ABG中，BG=，

∴BD=BG-DG=4-3=1.

综上所述，BD=或.