Question

如图，AB为⊙O的弦，C为弦AB上一点，设AC=m，BC=n（m＞n），将弦AB绕圆心O旋转一周，若线段BC扫过的面积为（m²﹣n²）π，则=_____．

Answer

【解析】

先确定线段BC过的面积：圆环的面积，作辅助圆和弦心距OD，根据已知面积列等式可得：S=πOB2-πOC2=（m2-n2）π，则OB2-OC2=m2-n2，由勾股定理代入，并解一元二次方程可得结论．

如图，连接OB、OC，以O为圆心，OC为半径画圆，

则将弦AB绕圆心O旋转一周，线段BC扫过的面积为圆环的面积，

即S=πOB2-πOC2=（m2-n2）π，

OB2-OC2=m2-n2，

∵AC=m，BC=n（m＞n），

∴AM=m+n，

过O作OD⊥AB于D，

∴BD=AD=AB=，CD=AC-AD=m-=，

由勾股定理得：OB2-OC2=（BD2+OD2）-（CD2+OD2）=BD2-CD2=（BD+CD）（BD-CD）=mn，

∴m2-n2=mn，

m2-mn-n2=0，

m=，

∵m＞0，n＞0，

∴m=，

∴，

故答案为：．